8 de nov de 2015

As equações de Maxwell e a essência da Teoria da Relatividade Restrita

Primeiramente, para entender o assunto principal deste artigo, é necessário compreender dois pontos muito importantes: a Teoria da Relatividade de Galileu e as Leis de Maxwell. Se estes dois assuntos estiverem bem claros, não será difícil de entender a essência da Teoria da Relatividade Restrita (TRR).



Teoria da relatividade de Galileu Galilei

Galileu imaginou que se estivesse em um navio em movimento uniforme (sem mudar de direção e velocidade) com borboletas e uma garrafa pendurada gotejando, notaríamos que as borboletas continuariam se movimentando, e a garrafa continuaria se movimentando. Estes dois fatores não iriam sofrer alterações devido a movimentação do navio.
Com essa experiência, Galileu pode demonstrar que é impossível determinar, apenas pela observação, se o navio está parado o em movimento. Portanto movimento e repouso são relativos a um referencial, consequentemente, ou seja, as leis do movimento são as mesmas em todos os referenciais inerciais não existindo um referencial privilegiado. Esta ideia ficou conhecida como o principio da relatividade de Galileu.  E pode ser resumida no seguinte postulado: “Todos os sistemas de referência, em repouso ou em movimento uniforme entre si (ditos sistemas inerciais), são equivalentes para o enunciado das leis da Mecânica". Ou seja, se uma pessoa estiver dentro de um trem que se desloca uniformemente ela terá as mesmas leis da Mecânica de uma pessoa que estiver parada na estação vendo o trem passar

O teorema das somas das velocidades

Este teorema diz que as velocidades podem ser somadas, segundo a equação V= v1 + v2. Ou seja, a resultante da velocidade relativa entre dois corpos é a soma da velocidade entre eles.
Por exemplo, um ônibus está trafegando numa rua a uma velocidade de 60 km/h e dentro deste ônibus há uma pessoa correndo numa velocidade de 5 km/h, então uma pessoa que está na calçada verá a pessoa se mover a uma velocidade de 65km/h. Ou então numa outra ocasião, numa estrada há dois carros, um trafegando com uma velocidade de 80km/h (A) e outro com uma velocidade de 60km/h (B), se A ultrapassar B, a velocidade que ele realmente vai ultrapassar é de 80km/h - 60km/h = 20km/h.

James Clerk Maxwell é considerado um dos mais brilhantes cientistas do século XIX. Nascido em 1831 em Edimburgo, Escócia, Maxwell, desde muito jovem, já mostrava genialidade, ele publicou seu primeiro trabalho científico quando tinha apenas 15 anos. Em 1847 foi admitido na Universidade de Edimburgo, e posteriormente estudou matemática no Trinity College em Cambridge.

Seu trabalho mais divulgado foi o que estabeleceu a relação entre o eletromagnetismo e a luz, e pode-se considerar que é neste trabalho que a Teoria da Relatividade começa seu caminho. Pois o desenvolvimento da eletrodinâmica levou à revisão das noções de espaço e tempo.

A pesquisa sobre o eletromagnetismo

Maxwell iniciou seus estudos sobre o eletromagnetismo por meio da comparação do escoamento de fluidos incompressíveis com os campos observados por Faraday. Desta maneira ele desenvolveu um modelo de fenômenos eletromagnéticos utilizando o conceito de campo e de vórtices análogos aos observados nos fluidos, exibindo a intensidade magnética e a corrente elétrica.
Ele percebeu que a elasticidade poderia se relacionar com estes fenômenos e introduziu a elasticidade no fenômeno, mostrando que ondas transversais se propagariam em termos das conhecidas constantes fundamentais do eletromagnetismo. A partir disso, ele deduziu que a o luz é composta por ondas eletromagnéticas transversais em um meio hipotético ("ether").
Em 1864, Maxwell, formalizou estas ideias em uma descrição matemática dos campos magnéticos, desenvolvendo as famosas equações fundamentais do eletromagnetismo, conhecidas como equações de Maxwell.

Elas descrevem os fenômenos eletromagnéticos (elétricos e magnéticos), mostrando que a eletricidade e o magnetismo são aspectos de uma mesma força, o eletromagnetismo, e que ondas eletromagnéticas se comportavam em relação aos campos elétrico e magnético, oscilando em ângulos ortogonais um em relação ao outro e em relação à direção de propagação. Maxwell também afirmou que estas ondas eletromagnéticas teriam uma certa velocidade "c", que descreve as intensidades relativas das forças elétricas e magnéticas entre partículas carregadas, e determinou a constante de velocidade "c" como sendo 310.740 km/s, este valor era bem próximo ao do encontrado por Fizeau para a velocidade da luz no ar, que era de 314.858 km/s. Portanto, Maxwell chegou a conclusão de que a luz seria um tipo de onda eletromagnética. Heinrich Hertz confirmou isso posteriormente (1888), por meio do descobrimento das ondas de rádio.


  As equações de Maxwell

Depois de se entender o princípio das equações de Maxwell e entender suas utilidades, é o importante conhecer matematicamente as equações, a evolução delas e a utilidade em cada etapa da evolução.

Nestas oito equações, Maxwell sintetiza todo o conhecimento da época acerca dos fenômenos elétricos e magnéticos na forma de um conjunto de equações relativamente simples.
Ao mesmo tempo em que a física avançava a matemática também dava grandes passos. Com o desenvolvimento do calculo vetorial, as equações de Maxwell puderam ser escritas da forma a seguir.



Comparando este conjunto de equações com o conjunto das primeiras equações é possível ver que a segunda, a terceira e a quarta equação estão dentro da segunda equação acima, a sexta, a sétima e a oitava equação estão na quarta equação acima.
Basicamente, a simplificação das equações foi apenas para torná-las mais fáceis de serem compreendidas e de inicio seria trocar seis por meia-duzia. Mas, com estas equações simplificadas foram possíveis avanços em outras áreas, que não é interessante colocar em questão neste momento.
Após o advento do cálculo vetorial, desenvolveu-se um outro tipo de cálculo em Matemática chamado "cálculo tensorial". Utilizando este cálculo tensorial, as equações de Maxwell podem ser escritas como: 



Um incrível avanço matemático para as equações de Maxwell! Oito equações se tornaram apenas duas! A primeira e a segunda equações anteriores estão contidas na primeira das equações acima, enquanto a terceira e a quarta estão contidas na outra.
Com estas equações foi possível compreender melhor fato da eletricidade e magnetismo não serem fenômenos isolados, mas sim diferentes aspectos do mesmo fenômeno eletromagnético. Pois nas primeiras equações eram representados por símbolos "E" e "B", já nestas foram reduzidos a letra "F". 
Acompanhando o progresso da matemática, depois do cálculo tensorial e o cálculo vetorial, agora existe o cálculo de formas diferenciais. Este tipo de cálculo deve-se a Cartan, que se fundamentou na estrutura algébrica desenvolvida por Grassmann, e desenvolveu o cálculo de formas diferenciais, que é a base da geometria diferencial moderna. Utilizando o cálculo de formas diferenciais, as equações de Maxwell são escritas como:



Inacreditavelmente as oito equações iniciais estão representadas por apenas duas equações. E a simplicidade delas torna-a mais valiosa e poderosa. Com isso é possível obter progressos em outras grandes áreas, como é o caso do conceito de super-simetria da Física Moderna, e a super-simetria é fundamental dentro de teorias como, por exemplo, a das super-cordas, que alguns acreditam ser a Teoria de Tudo que se baseia na álgebra de Grassmann. 
Parece bastante assustador, mas das oito equações, agora se pode representá-las por apenas uma equação, descrita abaixo.



Para isso acontecer foi necessário a construção de uma chamada álgebra de Clifford, que foi desenvolvida sobre a álgebra de Grassmann. 

A essência da Teoria da Relatividade Restrita: Relatividade de Galileu X Leis de Maxwell

Depois de conhecermos a Relatividade de Galileu e as Leis de Maxwell, podemos entender o problema que Einstein enxergou no que se diz respeito a estes dois trabalhos.
Quando se tentava aplicar a Relatividade de Galileu às Leis de Maxwell surgia contradições. Imagine que há uma onda eletromagnética se propagando, campos elétricos e magnéticos oscilantes que se propagam perpendicularmente um em relação a o outro e perpendicular a velocidade. É necessário que haja um campo elétrico variável para gerar um magnético e um elétrico para gerar um magnético. 
Albert Einstein fez o seguinte experimento mental: o que aconteceria se ele viajasse junto com a velocidade da luz? Segundo a Relatividade de Galileu, a velocidade da onda eletromagnética da luz em relação a Einstein seria zero! E se a velocidade da onda eletromagnética em relação a ele é zero, os campos elétricos e magnéticos estariam estáticos. E isso contradiz as Leis de Maxwell, pois os campos elétricos e magnéticos na onda eletromagnética são dinâmicos.  
O principio de composição de velocidades da mecânica de Newton, que é bem parecido com a Relatividade de Galileu também foi contestada. Newton dizia que a velocidade da luz só poderia ser admitida num dado sistema. Em qualquer outro sistema, que se mova em relação ao sistema dado com velocidade v , a velocidade da luz deveria ser "c" (300.000 km/s) - a velocidade "v".

A primeira possibilidade é a do físico holandês Hendrik Lorentz, fundador da teoria eletrônica. Um sistema inercial parado em relação ao éter é, segundo Lorentz, um sistema privilegiado. Nele, as leis da eletrodinâmica de Maxwell são verdadeiras e têm uma forma mais simples. Só neste sistema a velocidade da luz no vácuo é igual em todas as direções.

A segunda possibilidade consiste em considerar as equações de Maxwell falsas e tentar modificá-las de tal modo que com a passagem de um sistema inercial para outro (de acordo com os habituais conceitos clássicos de espaço e de tempo) não se alterem, está tentativa era extremamente difícil, pois como foi visto, as equações de Maxwell foram muito bem construídas.  Esta tentativa foi feita por Hertz, segundo ele, o éter é arrastado totalmente pelos corpos em movimento e por isso os fenômenos eletromagnéticos decorrem igualmente, independentemente do fato do corpo estar parado ou em movimento. O princípio da relatividade é verdadeiro.

 Finalmente, a terceira possibilidade da resolução das dificuldades consiste na rejeição das noções clássicas sobre o espaço e tempo para que se mantenha o princípio da relatividade e as leis de Maxwell. De acordo com este ponto de vista, não são as equações do campo magnético que estão incorretas, mas sim as leis da mecânica de Newton, as quais estão de acordo com a antiga noção de espaço e tempo. É necessário alterar as leis da mecânica, e não as leis de eletrodinâmica de Maxwell. Está hipótese é que Einstein desenvolveu aos poucos e criou uma nova concepção do espaço e do tempo. 

As outras duas possibilidades foram rejeitadas por experiências, e só a primeira estava correta. Quando Hertz tentou mudar as leis da eletrodinâmica de Maxwell verificou-se que as novas equações não podiam explicar muitos fatos observados. Assim, de acordo com a teoria de Hertz, a água em movimento deverá arrastar completamente consigo a luz que se propaga nela, visto que ela arrasta o éter, onde a luz se propaga. A experiência mostrou que na realidade isso não se passava.

Isto significa que se é verdadeiro o princípio da composição de velocidades, então, na passagem de um sistema inercial para outro, as leis da eletrodinâmica deverão alterar-se de tal modo que neste sistema a velocidade da luz, em vez de ser igual a "c" - "v".

Tendo em vista este problema, surgiram tentativas de resolvê-lo. 

Um dos experimentos mais respeitados fora realizado por Albert Michelson e Edward Morley, na Case School of Applied Science, em Cleveland, Ohio, 1887. Eles criaram um aparelho chamado interferômetro, e nele realizaram experiências com o objetivo de comparar a velocidade da luz em dois feixes perpendiculares entre si. "No interferômetro de Michelson-Morley, a luz de uma fonte é dividida em dois feixes por um espelho semiprateado. Os dois feixes propagam-se em direções perpendiculares entre si e são combinados em um único feixe ao incidirem novamente no espelho semiprateado. Uma diferença da velocidade da luz propagando-se nas duas direções poderia fazer com que as cristas da onda de um feixe chegassem ao mesmo tempo em que os vales de onda do outro feixe, cancelando-se mutuamente" (Universo Numa Casca de Noz, Stephen Hawking, p.18).


Numa série de reflexões e refrações de dois feixes M e M', o experimento deveria mostrar que o feixe M, que segue no mesmo sentido do movimento da Terra, deveria sofrer algum atraso em relação ao feixe M'.  Porém, Michelson e Morley não encontraram diferenças diárias ou anuais entre os dois feixes de luz. Era como se a velocidade da luz fosse sempre a mesma em relação ao observador, não importando a direção ou a velocidade em que este se movesse. 

Para explicar o resultado das experiências de Michelson-Morley, o físico irlandês George FitzGerald e o holandês Hendrik Lorentz sugeriram que corpos se movendo no éter se contrairiam e que relógios se retardariam. Isso fazia com que todas as pessoas medissem sempre a mesma velocidade da luz, independentemente de como se movessem em relação ao éter.  

Embora FitzGerald e Lorentz tenham chegado a mesmas conclusões, é importante entender o modo como Lorentz compreendia o fenômeno da contração dos corpos em direção de seu movimento, que ele descreve em "Fenômenos eletromagnéticos em um sistema que se move a qualquer velocidade inferior à da Luz", publicado em 1904. 
Segundo Lorentz, o resultado se devia à natureza da matéria. Os campos de Maxwell estavam nos espaços vazios entre as partículas, e a matéria eletricamente carregada serviria de fonte dos campos. Duas partículas carregadas interagiriam reciprocamente por influência mútua dos respectivos campos. Portanto, se a matéria é constituída de moléculas, uma vez que um corpo entrasse em movimento, as forças se alterariam, causando contração. Segundo Gil Cleber: “os elétrons [...] são esferas carregadas que, ao entrarem em movimento, contraem-se numa fora elipsóide, ocasionando assim a contração total dos objetos em movimento”.
Tendo isso em vista, Morley e seu colega D.C. Miller executaram outra vez uma nova série de experimentos usando diferentes materiais, o primeiro feito de madeira e o segundo feito de aço. Desta maneira, os resultados seriam diferentes, de acordo com as explicações de Lorentz. Porém, o resultado continuou o mesmo.

As explicações para o resultado do experimento de Michelson-Morley não ficaram exatamente compreendias. E só com Einstein, em 1905 será possível compreende-las melhor e também compreender as transformações de Lorentz.

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